大域微分幾何（上）Riemannn幾何基礎（二版）(精裝)

大域微分幾何（上）Riemannn幾何基礎（二版）(精裝)
作者：黃武雄 出版社：臺大出版中心 出版日期：2021-11-02 00:00:00

＜內容簡介＞

《大域微分幾何》全書共三卷。內容主要對象是彎曲的空間，上卷大體是作者多次在臺大數學研究所授課的講稿，以此為基礎，展開中、下両卷，進入大域幾何研究的專業。
這套書三卷分別是「Riemann幾何基礎」、「活動標架法」（moving frames）及「幾何變分學」，涵蓋九大篇，共三十章，並於上卷與下卷加入〈前篇〉及〈衍篇〉各三章，以作為微分幾何「基礎入門」與「延伸進階學習」之用。
上卷從「前篇」A、B、C三章的「大域曲面論」、「活動標架法」及「可微流形」等基礎背景開始談起，引入黎曼幾何。沿依1850年代Riemann探討高維內在幾何的思路，描述「彎曲空間」。尤其著重幾何直觀，並藉由「測地線變分」初步探究彎曲空間大域的幾何性質。

★本書特色：

1. 全書以深入淺出的解說方式，藉由直觀，逐步引入艱深的幾何硏究。
2. 問題中心論：內容的鋪陳，經常圍繞著自然的提問。
3. 採二維計算方式呈現數學式子的推演，使學習者一目瞭然，容易掌握運算過程。
4. 適合「微分幾何學」進階研究，及天文物理、生化、土木領域之延伸應用。

★目錄：

大域微分幾何引言
《大域微分幾何》三卷書二版序
校訂序
中文譯名說明
上卷Riemann幾何基礎
前篇基礎背景
章A大域曲面論概要
章B活動標架法初步及其應用
章C可微流形的基礎概念
篇一Riemann幾何的背景
第1章切向量與Lie微分
第2章Frobenius可積分定理
第3章Riemann曲率的誕生
第4章曲面論基本定理
篇二測地線的變分
第5章向量場的共變微分
第6章Connection, metric與曲率
第7章測地線的變分與Synge定理
第8章變分學中的Direct Method
篇三Jacobi場與大域幾何
第9章Exponential map與最短測地線
第10章Jacobi場
第11章測地線的大域行為
第12章Bonnet-Myers定理與Hadamard定理
附錄
Appendix A
全書參考文獻
全書索引

＜作者簡介＞

黃武雄
學歷：美國萊斯（Rice）大學數學博士
經歷：國立臺灣大學數學系教授、中央研究院數學所研究員
相關著作：幾何專業研究論文之外，著有通俗數學讀物《初等微分幾何講稿》、《中西數學簡史》、《小樹的冬天》。

★內文試閱：

《大域微分幾何》三卷書二版序（摘錄）
1、
這三卷書去年初版。出乎意料的，不到一年半已幾乎售罄。去年初版成書後不久，我便發覺有幾處校對上的疏忽。另外，下卷最後一章（即ch.30）的最後一個式子，因論證大意而有漏洞。慚愧之餘，我一直期待再版時，能有機會修正。
雖然有了這些瑕疵，但出書以來，我收到一些數學家的正面回饋，則感到欣喜。例如美國Purdue大學莫宗堅教授、史丹佛Stanford大學兼中研院劉太平教授，透過信件或電話告訴我，他們閲讀時的感想。台大蔡宜洵教授更細心的讀完終卷，寫下深刻感人的書評，發表在《中華民國數學會電子報》；這份書評的紙本，亦將在中研院《數學傳播》季刊全文刊登。
另外，感謝張海潮、王藹農、王立中教授指出篇一第4章「曲面論基本定理」的證明，有個gap，並做了補正，其間細微之辨，非常有趣。我在現今這個二版的上卷書末，增添兩頁附錄，放入他們的補正。
2、
初版時，我在引言中談到1978年我出版過的小書《初等微分幾何講稿》（以下簡稱為「小書」）。這本小書適合大學部初讀者的水準。許多這一代台灣的數學家，年輕時都讀過這本小書。如今他們已步入中年，多次向我提起小書對他們大學時代的影響。
今年初，在新迪出版社友人石飛益的贊助之下，這本小書重新修訂出版。
目前《大域微分幾何》這三卷書（以下稱為「大書」），可以看成是小書的續集，初版或二版不拘。也就是說，小書是大書的先修本。
但大書上卷的前篇章A〈大域曲面論概要〉則是小書的濃縮版。數學程度成熟的專業者可以跳過小書，直接讀大書。兩書一小一大，相輔相成，從大學部的水準，一直深入微分幾何專業研究的領域。
中研院鄭日新、台大李瑩英、師大林俊吉三位教授，原本計劃要在今年8月7日，為大書舉辦「新書發表會/暨cmc曲面研討會」；同時也回顧他們年輕時走向幾何的經驗。惜因疫情起伏不定而作罷。
我在今年初的《數學傳播季刊》中，寫了一篇長文，説明大書與小書內容的連結。這篇長文也作為前言，放在重新出版的小書中。
3、
眼前這套大書的再版（即現今這二版），上、中兩卷除了修正幾處typos（校對誤差）之外，幾乎沒什麼更動。下卷亦然，真正大幅更動的是最後一章（ch30）。我把它重新改寫，因為在彌補前述的漏洞時，我們的研究工作又有新的進展。
這章主題是處理cmc曲面（hypersurface ）上domain D(t)的動態變形，考慮其上Jacobi場隨著t，而離散出現的分佈情狀。
我們引入Morse index定理，來處理這問題。關鍵便落在stability operator的特徵值是否連續。我們處理的domain D(t)是困難的廣義Lipschitz domain，並且容許它們的topological type可以隨t而改變。如此D(t)才能伸向大域，使其樣態多變。
但這樣一來，問題便艱鉅得多，而且論證也變得深刻。穿越困難，像走入曲折迂迴的甬道，暗黑而多次碰壁。經過半年多艱辛的努力，我們終於看到曙光，解決了問題，得到完整的結果。
這章（ch30）的改寫，是二版修訂真正的重點。